توضیحات
حل دستگاه معادلات دیفرانسیلی معمولی(ODE) راکتور مخزنی همزن دار پیوسته(CSTR) در حالت ناپایا با روش رانگ-کوتا مرتبه چهار(RK4) در نرم افزار متلب(MATLAB)
شرح پروژه:
در این پروژه حل دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی راکتور همزن دار پیوسته(CSTR) در حالت ناپایا با روش رانگ-کوتا مرتبه چهار(RK4) در نرم افزار متلب(MATLAB) کدنویسی شده است.
در مثال راکتور مخزنی همزن دار(CSTR) این پروژه، دو واکنش سری زیر انجام میشوند:
معادله دیفرانسیل معمولی:
یک معادله دیفرانسیل معمولی(ODE) رابطه ای بین یک تابع مجهول یک متغیره، مشتق های تابع و متغیر مستقل می باشد. یک معادله دیفرانسیل معمولی معادله ای است از یک تابع مجهول و مشتقات آن که صورت کلی یک معادله دیفرانسیلی معمولی(ODE) به صورت زیر بیان می شود:
در رابطه فوق x متغیر مستقل بوده و y متغیر وابسته می باشد. جواب این معادله دیفرانسیلی معمولی(ODE) به صورت یک تابع y(x) می باشد که در معادله دیفرانسیلی صدق کند که این y را جواب معادله دیفرانسیلی می نامیم. یک معادله دیفرانسیل همیشه جواب یکتا ندارد. برای اینکه این معادله یک جواب یکتا داشته باشد نیاز به شرایط اولیه و مرزی داریم. اگر یک معادله دیفرانسیلی تنها یک متغیر مستقل داشته باشد آن را یک معادله دیفرانسیلی معمولی(ODE) می نامیم و معادله ای که دارای مشتقات جزئی بوده که لزوماً شامل چند متغیر مستقل است را معادله دیفرانسیلی پاره ای یا جزئی(PDE) می نامیم.
مسائل مقدار اولیه و مسائل مقدار مرزی:
مسائل مقدار اولیه (IVP) : مقادیر متغیر مستقل و مشتق های آن در یک نقطه خاص معلوم است. یک معادله دیفرانسیلی معمولی همراه با شرایط اولیه را مسئله مقدار اولیه می گویند.
مسائل مقدار مرزی(BVP): مقادیر متغیر مستقل و مشتقات آن در نقاط متفاوت در دامنه حل معلوم می باشد. یک معادله دیفرانسیل معمولی همراه با شرایط مرزی را مسئله مقدار مرزی می گویند.
معادلات دیفرانسیل معمولی براساس مرتبه مشتق موجود در معادله تقسیم می شوند. بالاترین مرتبه مشتق معادله نشان دهنده مرتبه معادله دیفرانسیلی است.
معادله دیفرانسیلی معمولی مرتبه اول:
شکل کلی معادله دیفرانسیلی معمولی مرتبه اول به صورت زیر بیان می شود:
با شرط اولیه y (x=x0)= y0 .
برای اکثر مسائل فیزیکی، معادله دیفرانسیل معمولی با مسئله مقدار اولیه به شکل زیر می باشد.
بنابراین می توان نوشت:
روش اویلر صریح(Explicit Euler):
روش اویلر صریح، ساده ترین روش تقریب عددی برای حل مسائل مقدار اولیه(IVP) می باشد که در آن مشتق را با یک روش تفاضل پیشرو تقریب می زند. درواقع در روش اویلر مقدار جدید(yi+1) باتوجه به مقدار قبل و گام حل با فرض تقریب مرتبه اول محاسبه می شود.
معادله این روش به صورت زیر بیان می شود:
در رابطه فوق، h اندازه گام تکرار می باشد و اشاره به نمو بین دو مقدار متوالی دارد.
روش اویلر ضمنی(Implicit Euler):
در روش اویلر ضمنی، مشتق در مقادیر جدید به کمک تقریب تفاضل محدود پسرو ارزیابی می شود. طرح اویلر ضمنی به صورت زیر بیان می شود:
همانطور که در رابطه فوق مشاهده می شود، تنها اختلاف روش اویلر ضمنی با اویلر صریح این است که تابع سمت راست در زمان جدید f(yi+1) ارزیابی می شود. اغلب اوقات yi+1 را نمی توان به صورت صریح محاسبه نمود. بایستی توجه داشت که رابطه فوق یک رابطه غیرخطی برحسب yi+1 است که برای حل آن بایستی صفر تابع و ریشه های تابع را با یکی از روش های عددی مانند روش نیوتن محاسبه کنیم. بنابراین بایستی آن را از حل معادله جبری زیر محاسبه نمود.
رابطه فوق بطورکلی غیرخطی است. روش انتخاب برای حل این معادله روش نیوتن است که بایستی در هر مرحله از انتگرال گیری اعمال شود. واضح است که پیاده کردن و حل معادله دیفرانسیلی با روش اویلر ضمنی دشوارتر از روش اویلر صریح است. مزیت روش اویلر صریح این است که بی قید و شرط پایدار است.
روش رانگ-کوتا:
روش های رانگ-کوتا (Runge-Kutta) برای تقریب های مرتبه بالاتر طراحی شده اند بطوریکه به محاسبه مشتقات بالاتر نیازی نباشد. روش رانگ-کوتا در مقایسه با روش اویلر که یکبار تابع f را محاسبه می کند، در هر مرحله چندین بار این تابع محاسبه می شود. در این روش از یک ترکیب خطی از f برای محاسبه شیب استفاده می شود. پرکاربردترین روش رانگ-کوتا، روش رانگ-کوتا مرتبه چهار می باشد. فرمولاسیون این روش به صورت زیر است:
راکتورها:
رآکتورهای شیمیایی می‌توانند در ابعاد بزرگ و برای مصارف صنعتی و یا در ابعاد کوچک جهت کاربردهای آزمایشگاهی و تحقیقاتی ساخته و تولید شوند. همچنین جنبه‌های اقتصادی نیز بر طراحی بهینه رآکتور تاثیرگذار است، از جمله صرف هزینه کمتر برای طراحی رآکتور کاراتر و کوچکتر، صرف انرژی کمتر برای تولید محصول بیشتر، رساندن مواد اولیه به بیشترین درصد تبدیل و بالا بردن راندمان فرآیند و… . در طراحی رآکتورها پارامترهای زیادی از جمله: زمان اقامت، حجم، دما، فشار، غلظت گونه‌های شیمیایی، ضریب انتقال حرارت، سرعت واکنش و… دخالت دارند. رفتار رآکتورها معمولاً با معادلاتی موسوم به معادله رآکتور مطرح می شود که برای گونه‌های مختلف رآکتور متفاوت بوده و رابطه ریاضیاتی بین پارامترهای موثر در رآکتور را بیان می‌کند
انواع رآکتورهای شیمیایی:
رآکتورهای شیمیایی طراحی‌های پیچیده ای دارند که گاه طی سالیان متمادی برای یک فرآیند خاص به تکامل رسیده است. پارامترهای زیادی بر طراحی و شکل رآکتور، موثر هستند که موجب تنوع انواع رآکتورها میشوند. این سیستم‌ها براساس نوع واکنش و موارد کاربرد در اشکال مختلف و با جزئیات خاص طراحی میشوند که پیچیدگی آنها را زیاد می‌کند، اما می‌توان بر اساس برخی پارامترهای اساسی، رآکتورها را به دسته‌های عمده تقسیم کرد. می‌توان رآکتورها را در چند دسته بزرگ و کلی از جمله رآکتورهای پیوسته و ناپیوسته، رآکتورها سیال بستر و یا ثابت بستر، رآکتورهای لوله‌ای و مخزنی و یا رآکتورهای همگن و ناهمگن، طبقه‌بندی کرد.
انواع رآکتور از منظر فازهای درگیر در واکنش:
واکنش‌ها در رآکتور ممکن است به صورت همگن(تمامی مواد در یک فاز هستند) و یا ناهمگن(مواد درگیر در واکنش در فازهای مختلف قرار دارند) انجام شود. این امر باعث می‌شود تا در طراحی رآکتور محدودیت ایجاد شود. واکنش‌های گازی نمونه‌ای از واکنش‌های همگن هستند که معمولاً در رآکتورهای لوله‌ای انجام میشوند. رآکتورهای ناهمگن براساس فازهای درگیر در واکنش، شکل‌های مختلفی دارند اما نکته مهم در این رآکتورها ایجاد انتقال جرم و تماس مناسب بین فازها برای انجام واکنش است.
راکتور بسته و نیمه بسته:
راکتور بسته(Batch Reactor) گونه ساده ای از رآکتورهای شیمیایی هستند که به صورت مخزنی همراه با همزن و سیستم تبادل حرارت است. در این رآکتورها مواد اولیه داخل رآکتور پر می‌شود و سپس واکنش انجام می‌گیرد. پس از تکمیل واکنش و تولید محصول، درب رآکتور باز شده و محصولات تخلیه میشوند. این فرآیند بارها و بارها قابل تکرار است. از رآکتورهای بسته عمدتاً در تولید محصول در ابعاد کم و محصولاتی که متقاضی مقطعی و یا فصلی دارند استفاده می‌شود. موادی مانند مواد دارویی از جمله موادی هستند که در سیستم‌های بسته تولید می‌شود. تغییر در شکل فرآیند با استفاده از رآکتورهای بسته به مراتب آسانتر و به صرفه‌تر از فرآیندهای پیوسته است. دانستن سینتیک و ساز و کار فرآیند در رآکتورهای بسته کم اهمیت تر است. به همین سبب است که سینتیک عمده فرآیندهای داروسازی ناشناخته است.
رآکتورهای نیمه بسته(Semi-Batch Reactor) همانند راکتور بسته می باشند با این تفاوت که در این نوع از رآکتورها، مواد اولیه به آرامی به مخزن افزوده می شوند اما خروجی از رآکتور وجود ندارد.
راکتورهای ثابت بستر و سیال بستر:
گونه دیگری از رآکتورها، رآکتورهای ثابت بستر(Fixed Bed Reactor) و سیال بستر(Fluidized Bed Reactor) هستند. در رآکتورهای ثابت بستر ماده جامد که معمولاً کاتالیست می‌باشد، به طور ثابت داخل رآکتور قرار دارد و مواد واکنش‌دهنده پس از عبور از روی این مواد، واکنش داده و از رآکتور خارج میشوند. رآکتورهای آکنده نمونه‌ای از این نوع رآکتورها هستند. نمونه‌ای از کاربرد این نوع رآکتورها برای تصفیه گازهای خروجی از نیروگاه های سوخت فسیلی است. در این نوع نیروگاه ها، پس از فرآیند احتراق، گازهای حاوی ترکیبات مضر نیتروژن از داخل رآکتور حاوی کاتالیست عبور می‌کنند تا ترکیبات مضر آن به مواد کم خطرتر تبدیل شوند.
در رآکتورهای سیال بستر مواد جامد با جریانی از سیال در داخل رآکتور به صورت معلق در می‌آیند. این مواد جامد می‌توانند واکنش دهنده ها، کاتالیست ها و یا بازدارنده ها باشند. این فرآیند موجب افزایش انتقال جرم و حرارت در رآکتور و اختلاط کامل تر اجزا می‌شود. از دیگر مزایای این نوع رآکتور امکان خارج کردن جامد از رآکتور به صورت پیوسته و انتقال به واحد دیگر است. به عنوان نمونه هنگامی که احیای دوباره بازدارنده ها و کاتالیست‌ها نیاز باشد، می‌توان آنها را به این ترتیب از رآکتور خارج و به واحد بازیابی منتقل کرد.
راکتورهای پیوسته:
رآکتورهای پیوسته(Continuous Reactor) گونه ای متداول از رآکتورها هستند که در آنها یک یا چند جریان ورودی به سیستم، مواد واکنش دهنده را به داخل رآکتور می‌آورد و پس از واکنش، از خروجی یا خروجی‌های رآکتور محصولات خارج میشوند. به طور معمول دبی ورودی و خروجی از این رآکتورها ثابت است. درغیر اینصورت امکان سرریز و یا تخلیه سریع مخزن رآکتور وجود دارد. معادله‌ی زیر معادله کلی موازنه رآکتور پیوسته را بیان می‌نماید:
این نوع رآکتورها عمدتاً برای تولید محصولات با حجم بالا و محصولاتی که میزان تقاضای آنها به صورت ثابت در بازار وجود دارد استفاده می‌شود. مواد سوختی، محصولات پتروشیمی، مواد شوینده و بهداشتی از جمله این مواد هستند. ایجاد تغییرات در رآکتورهای پیوسته به دلیل این که در فرآیندهای پیوسته باید همه فرآیندها با یکدیگر هماهنگ کار کنند به مراتب سخت‌تر از رآکتورهای بسته است؛ به همین دلیل از این نوع رآکتورها در تولید یک محصول یا محصولاتی که تولید آن شباهت زیادی به هم دارند، استفاده می شود. دو نوع متداول از رآکتورهای پیوسته، رآکتورهای پلاگ (یا لوله ای) و رآکتورهای مخزنی با همزن هستند.
رآکتورهای پلاگ یا لوله ای:
رآکتورهای پلاگ(Plug Flow Reactors یا PFR) گونه‌ای از رآکتورهای پیوسته هستند که در آنها به جای مخزن، از یک لوله برای انجام واکنش استفاده می‌شود. این نوع رآکتورها در مقایسه با شکل مخزنی آن، فضای کمتری اشغال می‌کنند. در عین حال به دلیل ساختار لوله ای خود، سطح تماس بیشتری با محیط اطراف داشته و تبادل گرما راحت تر انجام می‌شود. جریان پلاگ گونه‌ای از جریان سیال در داخل لوله است که در آن سرعت حرکت سیال در نزدیکی دیواره لوله و در مرکز لوله یکنواخت است. این امر موجب می‌شود مواد واکنش دهنده به طور یکنواخت با یکدیگر تماس یافته و واکنش انجام شود. این نوع از جریان با لوله‌های بلند و باریک ایجاد می‌شود، همچنین مارپیچ کردن لوله نیز می‌تواند به این امر کمک کند.
رآکتورهای مخزنی همزن دار:
رآکتورهای مخزنی همزن دار(Continuous-Stirred Tank Reactor یا CSTR)، به صورت مخازنی همراه با ورودی‌ها و خروجی‌ها هستند که عمل اختلاط و هم‌زدن مواد توسط شفت و پروانه صورت می‌گیرد. این نوع رآکتورهای پیوسته در مقایسه با رآکتورهای پلاگ حجم بیشتری نیاز دارند اما حجم تولید در آنها بالاتر است.
شکل شماتیک راکتور CSTR
در مثال راکتور مخزنی همزن دار(CSTR) این پروژه، دو واکنش سری زیر انجام میشوند:
نمونه نتایج:
