توضیحات

پروژه برنامه نویسی بررسی عددی جریان یک بعدی داخل نازل همگرا-واگرا یا نازل لاوال با استفاده از روش‌ صریح مک کورمک در نرم افزار متلب

دانلود مقاله مرجع

حل معادلات ناویر استوکس سابقه ای نسبتا طولانی دارد و با توجه به غیرخطی بودن و پیچیدگی این معادلات حل تحلیلی آنها به جز در حالت های خاص وجود ندارد. این امر باعث ارائه روش های متنوع توسط محققین جهت حل تقریبی این دسته معادلات، گردیده است. حل عددی این معادلات به دلیل وجود گرادیان های شدید، پیچیدگی های خاص دارد. با ورود کامپیوتر در عرصه علم و دانش و پیشرفت روز به روز این امر ، رشد و گسترش روشهای عددی در حل معادلات سرعت چشمگیری داشته است.

روش های صریح و ضمنی دو روش رایج در حل مسائل غیر خطی می باشند که هرکدام دارای مزایا و معایب خود می باشند. یکی از مزایای روش صریح نسبت به روش ضمنی، سرعت بالاتر حل در مسائل پیچیده است. دیگر مزیت استفاده از این روش نیاز کمتر به فضای ذخیره سازی در یک مسئله یکسان نسبت به روش ضمنی در رایانه است. در روش های صریح می توان به الگوهای پخشی، لکس، مک کورمک و لامبدا و در روش های ضمنی به الگوهای پرایزمن، بیم وارمینگ و بیم وارمینگ اصلاح شده اشاره نمود.

روش صریح مک کورمک(MacCormack):

روش مک کورمک(MacCormack): این روش که در زمره روش های چند گامی قرار دارد و دارای دو مرحله حدس و تصحیح می باشد، در اوایل دهه ۱۹۷۰ توسعه یافت. این روش به عنوان روشی دو مرحله ای معروف است و بر اساس بسط سری تیلور مرتبه ۲ در زمان استوار می باشد. روش مک کورمک در مقایسه با روشهای صریح(Explicit) دیگر راحت تر و قابل درک تر بوده و همه متغیرهای وابسته در ابتدای کار و با استفاده از مقادیر معلوم محاسبه می شوند. روش عددی مک کورمک یکی از الگوهای صریح تفاضل محدود می باشد. این الگو متشکل از یک زنجیره دو مرحله ای پیش بینی کننده، تصحیح کننده می باشد.

نازل همگرا-واگرا (converging-diverging nozzle) یا نازل لاوال(Laval)

نازل ها مهمترین عنصر رانش در راکت ها و موتوری جت و.. هستند. وظیفه این عضو تبدیل آنتالپی جریان به انرژی جنبشی است. آخرین قسمت موتورهای جت اگزوز نازل می باشد، با توجه به حلقوی بودن خروجی توربین برای هدایت گاز خروجی به طرف گلوگاه از یک جسم مرکزی استفاده می شود وظیفه این جسم ایجاد تعادل آیرودینامیکی در مسیر رسیدن جریان به گلوگاه است. پدیده جدایش در نازل هنگامی روی می دهد، که فشار پشت از فشار طراحی نازل کمتر یا به اصطلاح نازل فرا منبسط باشد. در این حالت جدایش جریان باعث غیر یکنواختی شدید در خروجی نازل می شود.جدایش جریان در نازل باعث پایین آمدن عملکرد نازل و ایجاد نیروی تراست غیر متقارن می شود این عدم تقارن در خروجی باعث صدمه به سازه نازل می شود. رژیم های جدایش در نازل ها به دو رژیم جدایش کامل و جدایش محدود دسته بندی می شوند. در یک نازل با طراحی ایده آل امکان بوجود آمدن هر یک از این رژیم ها وجود دارد.آخرین قسمت موتورهای جت اگزوز نازل می باشد، با توجه به حلقوی بودن خروجی توربین برای هدایت گاز خروجی به طرف گلوگاه از یک جسم مرکزی استفاده می شود وظیفه این جسم ایجاد تعادل آیرودینامیکی در مسیر رسیدن جریان به گلوگاه است. این جسم مرکزی باعث حلقوی شدن ورودی نازل می شود و این تنها تفاوت این نازل با نازلهای همگرا-واگرای ساده است.جریان در قسمت همگرا با کم شدن مساحت در رژیم مادون صوت شتاب می گیرد. مساحت کم می شود تا در نهایت به کمترین مقدار خود در گلوگه برسد، در شرايط گلوگاه سرعت به سرعت صوت (1=M) می رسد. بعداز گلوگاه و در قسمت واگرا شتاب گرفتن جریان در رژیم مافوق صوت (1<N) ادامه می یابد . با افزایش سطح مقطع سیال شتاب می گیرد و در نهایت با سرعت Vو فشار P از دهانه خروجی بیرون می رود. بیشترین تراست موقعی روی می دهد که فشار گاز خروجی برابر فشار محیط باشد. در این حالت نازلی را نازل ایده آل می نامند. در نازل ایده آل جریان کاملا یکنواخت و موازی با محور خارج می شود.امروزه نازل های همگرا- واگرا در صنایع مختلف و در تونل های باد و توربین های بخار بکار می روند. سابقه همه آنها به اولین نازلی که توسط کارل گوستاف پاتریک دی لاوال ساخته شد باز می گردد. وی که در سوئد ودر یک خانواده ارتشی بدنیا آمد. پس از گرفتن درجه دکترا در سال ۱۸۷۲ کار بر روی توربین های بخار را آغاز کرد. در طی این سال ها دریافت که یک نازل همگرای ساده نمی تواند گاز را بطور کامل منبسط کند. در سال ۱۸۸۸ وی با اضافه کردن یک قسمت واگرا توانست به سرعتهای بالاتر دست یابد. در این سالها مهندسان درک درستی از جریانهای مافوق نداشتند. دی لاوال توانست سرعت توربین بخارش را به 30000 rpm برساند چنان سرعت فوق العاده ای آغازگر مسائل جدیدی را در مهندسی مکانیک بود.

کارهای دی لاوال به منزله جرقه ای در اواخر قرن ۱۹ در زمینه جریان های سوپرسونیک در نازل ها بود. یکی از نخستین افرادی که در این زمینه به تحقیق پرداخت استودلا بود. نتایج دقيق آزمایشگاهی او در سال ۱۹۰۴ در مورد تاثیر فشار پشت بر جریان نازل او را جزء بزرگان جریان مافوق صوت قرار داده است. در سال ۱۹۰۵ پرانتل مبتكر تئوری لایه مرزی نازلی با ماخ خروجی 1.5 ساخت و از جریان خروجی آن عکس برداری کرد. او توانست رژیم های خروجی از نازلی را کاملا شناسایی کنند. شاگرد وی میر اولین کسی بود که در این راه شوک مایل را توصیف و به محاسبات اولیه آن پرداخت. بعد از ایشان و در اوایل قرن بیستم کارهای بسیاری در خصوص طراحی شکل بدنه و تحلیل جریان نازل صورت گرفته است، که از مهمترین این کارها می توان به کارهای سامر فيلد در خصوص تحلیل جریان در نازل و بخصوص تحلیل جدایش جریان در نازل نام برد ، در زمینه طراحی بدنه نازل مهمترین روش ارائه شده روش مشخصه ها می باشد که از جمله کارها می توان به کارهای شپیرو که در توسعه این روش نقش مهمی داشته است اشاره کرد . در دهه نود و با پیشرفت کدهای عددی دید بهتری از پدیده های نازل بدست آمد و این تحقیقات تابحال ادامه دارد.امروزه با تلاش بشر برای دستیابی به سرعت های بالا نازل های فرا صوت از اهمیت خاصی بعنوان مهمترین عنصر رانش برخوردار شده کنترل جدایش جریان در نازل ها بطور جدی اند و کار بر روی جنبه های مختلف جریان نازل و بخصوص دنبال می شود. نازل به عنوان بخش مهمی از یک سیستم پیشرانش است که به منظور افزایش سرعت خروجی و نیروی پیشران به کار می رود. طبق تحقیقات انجام شده، نازل همگرا- واگرا بهترین نوع نازل برای افزایش نیروی پیشرانش است. اگر نازل به خوبی طراحی نشده باشد در ارتفاع های کم پروازی امکان ایجاد شوک درون آن وجود دارد. تداخل امواج شوک قوی با لایه ی مرزی در جریان آشفته، باعث ایجاد جدایش در محدودهی وسیعی از جریان داخل نازل میشود. این امر باعث کاهش مومنتوم خروجی از نازل و کاهش عملکرد موتور هواپیما یا هرگونه وسیله ی پرنده ی دیگری می گردد. شبیه سازی جریان درون نازل همراه با جدایش و شوک می تواند به منظور بهبود طراحی سیستم پیشرانش به کار رود به طوری که بتوان از آشفتگی جریان، جدایش و ناپایداری آن جلوگیری کرد.

به طور ایده آل جریان نازل فراانبساطی در قسمت پایین دست گلوگاه، مافوق صوت است و فشار خروجی به طور یکنواخت پایین تر از فشار محیط است اما برای یک نازل واقعی تداخل لایه ی مرزی و موج شوک می تواند منجر به جدایش لایه ی مرزی روی دیواری نازل شود و در نتیجه آن جریان در قسمت خروجی ناهمگن می شود. جدایش لایه ی مرزی نه تنها بر عملکرد نازل تاثیر می گذارد بلکه می تواند به ساختار جریان آسیب برساند.

بیشتر هواپیماهای مدرن مسافربری و جنگنده از موتورهای توربین گازی که جت نامیده می شوند به عنوان پیشران استفاده می کنند و بین این موتورهای توربین گازی تفاوتهای زیادی وجود دارد ولی همه ی آنها قسمتهای مشترکی دارند. همهی موتورهای توربین گازی یا همان جت، یک نازل یا شیپوره دارند که با هدایت گازهای اگزوز به عقب، به جریان آزاد، تراست تولید می کنند. مکان قرار گرفتن نازل در موتورهای جت بعد از توربین قدرت و چنانچه موتور دارای پس سوز باشد بعد از آن قرار می گیرد و در حالت کلی در انتهای موتور، جایی که گازهای اگزوز به هوا برخورد می کنند، قرار دارد. نازل ها دارای گوناگونی شکلی و اندازه می باشند که به کاربرد موتورها در هواپیماها بستگی دارند، اهميت شكل نازل در تشکیل شوک و عملکرد موتور پرنده است. اغلب موتورها یک نازل ثابت همگرا دارند. این نازل فقط در جهت محور موتور تراست تولید می کند و به همین خاطر متقارن محوری نامیده شده است. موتورهای توربوفن اغلب از نازل حلقوی استفاده می کنند. جریان درونی موتور و گازهای داغ از خروجی میانی و جریان هوای فن از خروجی حلقه مانند، خارج می شود. مخلوط این دو جریان باعث افزایش تراست می شود و همچنین صدای کمتری نسبت به نازل همگرا تولید می کند. نازل موتور توربوجت های پس سوزدار و توربوفن ها از نوع نازل همگرا-واگرا می باشد. در این نازل جریان هوا ابتدا در باریک ترین ناحیه که گلوگاه نامیده می شود به مرکز، همگرا شده سپس در قسمت واگرا انبساط یافته و خارج می شود.

شرح پروژه:

در این پروژه برنامه نویسی بررسی عددی شکل پایستار و ناپایستار معادلات ناویراستوکس جریان یک بعدی داخل نازل با استفاده از روش‌ صریح مک کورمک در نرم افزار متلب انجام شده است. برای حل شکل پایستار و ناپایستار معادلات از تکنیک حل عددی مک کورمک(MacCormack) استفاده می شود. روش مک کورمک شامل دو مرحله است: 1- مرحله پیش بینی کننده، 2- مرحله تصحیح کننده.

هندسه مسئله:

هندسه نازل همگرا-واگرا (convergent-divergent) یا نازل لاوال در شکل زیر نشان داده شده است.

نتایج:

توزیع نرخ جریان جرمی در نازل همگرا-واگرا (شکل ناپایستار):

مشتقات زمانی سرعت و چگالی(شکل غیرپایستار):

چگالی حالت پایا و عدد ماخ در نازل همگرا-واگرا (شکل ناپایستار):

تغییرات متغیر جریان بی بعد با زمان در گلوگاه نازل(شکل غیرپایستار):

میدان جریان حالت پایا در مقابل جهت جریان نازل(شکل ناپایستار):

توزیع نرخ جریان جرمی در نازل(شکل پایستار):

تغییرات متغیر جریان بدون بعد با زمان در گلوگاه نازل(شکل پایستار):

میدان جریان حالت پایا در مقابل جهت نازل(شکل پایستار):

مقایسه نرخ جریان جرمی برای شکل پایستار و ناپایستار با حل تحلیلی: